Google の提供するサービスについては
やっぱり GoogleChrome が相性がいいように思います。
Chrome には同期という仕組みがあって、
Google アカウントでログインしていると
同期も取ってくれるので何かと楽です。
Gmail のチェックには色々ありますが
個人的なおすすめは上記の Google Mail Checker です。
なにがいいってやっぱり Google 純正なので安心です。
基本的にあんまりアドオンを入れないのですが、
これは必要最低限な機能なので
うるさくありませんし。
メーラでチェックするでもいいのですが、
Web ベースで Gmail を使っているなら
これで十分かもしれません。